Introducción a las ecuaciones diferenciales 1
1.1 Definiciones terminología y 2
1.2 Problemas de valor inicial 12
1.3 Las ecuaciones diferenciales
como modelos matemáticos 19
Ejercicios de repaso 3 3
2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 3 6
2.1 Variables separables 37
2.2 Ecuaciones exactas 45
2.3 Ecuaciones lineales 52
2.4 Soluciones sustitución por 63
Ejercicios de repaso 6 9
3
Modelado con ecuaciones
diferenciales de primer orden 71
3.1 Ecuaciones lineales 72
3.2 Ecuaciones no lineales 86
3.3 Sistemas de ecuaciones lineales
y no lineales 97
Ejercicios de repaso 108
La AZT y La supervivencia con SIDA (Ap. N)
Dinámica de una población de lobos (Ap. Iv)
4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 112
4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 113
4.1.1 Problemas de valor inicial
y de valor en la frontera 113
4.1.2 Ecuaciones homogéneas 116
4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 123
4.2 Reducción de orden 130
4.3 Ecuaciones lineales homogéneas
con coeficientes constantes 133
4.4 Coeficientes indeterminados
método de la superposición, 142
4.5 Coeficientes indeterminados
método del anulador 153
4.6 Variación de parámetros 163
4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 169
4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 177
4.9 Ecuaciones no lineales 186
Ejercicios de repaso 193
5
Modelado con ecuaciones
diferenciales de orden superior 195
5.1 Ecuaciones lineales: problemas
de valor inicial 196
5.1.1 Sistema de resorte y masa:
movimiento libre no amortiguado 196
5.1.2 Sistemas de resorte y masa:
movimiento amortiguado libre 20 1
5.1.3 Sistemas de resorte y masa:
movimiento forzado 206
5.1.4 Sistemas análogos 2 ll
5.2 Ecuaciones lineales:
problemas de valores en la frontera 222
5.3 Ecuaciones no lineales 233
Ejercicios de repaso 244
Degeneración de las órbitas de los satélites (Ap. IV)
Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows (Ap. IV)
6
Soluciones en forma de series de potencias
de ecuaciones lineales 247
6.1 Repaso de las series de potencias;
soluciones en forma de series de potencias 248
6.2 Soluciones en torno a puntos ordinarios 257
6.3 Soluciones en torno a puntos singulares 265
6.4 Dos ecuaciones especiales 278
Ejercicios de repaso 294
. .
CONTENIDO Vii
7
8
9
La transformada de Laplace 295
7.1 Definición de la transformada
de Laplace 296
7.2 Transformada inversa 305
7.3 Teoremas de traslación y derivadas
de una transformada 3 1 2
7.4 Transformadas de derivadas,
integrales y funciones periódicas 325
7.5 Aplicaciones 333
7.6 Función delta de Dirac 349
7.7 Sistemas de ecuaciones lineales 354
Ejercicios de repaso 362
Sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales de primer orden 365
8.1 Teoría preliminar 366
8.2 Sistemas lineales homogéneos
con coeficientes constantes 376
8.2.1 Valores propios reales
y distintos 376
8.2.2 Valores propios repetidos 380
8.2.3 Valores propios complejos 384
8.3 Variación de parámetros 390
8.4 Matriz exponencial 395
Ejercicios de repaso 398
Modelado de una carrera armamentista (Ap. Iv)
Métodos numéricos para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias 400
9.1 Campos direccionales 401
9.2 Métodos de Euler 405
9.3 Métodos de Runge-Kutta 414
9.4 Métodos multipasos 421
9.5 Ecuaciones y sistemas.
de ecuaciones de orden superior 424
9.6 Problemas de valor
en la frontera de segundo orden 430
Ejercicios de repaso 435
.
. . . Vlll CONTENIDO
70 Funciones ortogonales y series de Fourier 437
10.1 Funciones ortogonales 438
10.2 Series de Fourier 444
10.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 449
10.4 El problema de Sturm-Lìouville 460
10.5 Series de Bessel y de Legendre 468
10.5.1 Serie de Fourier-Bessel 469
10.5.2 Serie de Fourier-Legendre 472
Ejercicios de Repaso 475
77 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
y problemas de valor en la frontera
en coordenadas rectangulares 477
ll. 1 Ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales separables 478
ll .2 Ecuaciones clásicas y problemas
de valor en la frontera 483
ll .3 Ecuación de transmisión de calor 49 1
ll.4 Ecuación de onda 494
ll .5 Ecuación de Laplace 501
ll .6 Ecuaciones no homogéneas y condiciones
en la frontera 505
ll.7 Empleo de series de Fourier generalizadas 509
ll.8 Problemas de valor en la frontera con series
de Fourier con dos variables 5 14
Ejercicios de repaso 518
Apéndice 1 Función gamma AP-1
Apéndice II Introducción a las matrices AP-4
Apéndice III Tabla de transformadas de Laplace AP-24
Apéndice IV Aplicaciones del modelado AP-27
A La AZT y la supervivencia con SIDA AP-28
B Dinámica de una población de lobos AP-30
C Degeneración de las órbitas de los satélites AP-33
D Derrumbe del puente colgante de Tacoma Narrows AP-35
E Modelado de una carrera armamentista AP-37
Apéndice V Tabla de transformadas de Laplace AP-39
Apéndice VI Tabla de integrales AP-41
Respuestas a los problemas de número impar R-l
Índice I-l
